Смотреть больше слов в «Энциклопедии Кольера»
История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Л... смотреть
математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих ... смотреть
Вариационное исчисление — История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде <i>брахистохроны</i>, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Меthod u s inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th é orie des Fonctions analytiques" и "Le çons sur le Calcul des Foncti ons"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations). Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от <i>x</i>, которая, будучи подставлена вместо <i>у</i> в данную функцию <i>F</i> от <i>х</i>, <i> у</i>,<i> dy</i>/<i>dx</i>,<i> d</i><sup>2</sup><i>y</i>/<i>dx</i><sup>2</sup>..., дала бы интегралу наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что <i>х</i> <sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub>, а также и соответствующие им <i>у</i> <sub>1</sub> и <i>у</i> <sub>2</sub> имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет где <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub> суть абциссы данных точек. Другой пример: требуется провести такую кривую <i>y = f</i>(<i>x</i>) между двумя точками (<i>х</i> <sub>1</sub>, <i> у</i> <sub>1</sub>)<i> </i> и (<i>x</i><sub>2</sub>,<i> y</i><sub>2</sub>) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси <i>X</i> -ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет: Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: <i>вариация</i> и <i>вариирование</i>. Предположим, что искомая функция <i>f</i>(<i>x</i>) найдена и что проведена кривая линия <i>y = f</i>(<i>x</i>), делающая интеграл <i>S</i> наибольшим или наименьшим. В функции <i>f</i>(<i>x</i>), кроме <i>x</i> заключается один или несколько <i>параметров</i>, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под <i>вариацией</i> от <i>у</i> подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты <i>у</i> есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через δ <i>у</i>. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры <i>f</i>(<i>x</i>) суть α,<i> </i> β,<i> </i> γ; бесконечно малые приращения их означим через δα,<i> </i> δβ,<i> </i> δγ <i>.</i> Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить δ <i>у</i> так: δ <i>y = </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> α ] δα <i> + </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> β ] δβ <i> + </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> γ ] δγ <i>. </i> Следовательно, варьирование ординаты <i>у</i>, или <i>f</i>(<i>х</i>) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой. При варьировании <i>f</i>(<i>х</i>) производные <i>у‘</i>,<i> y"</i> … от функции по <i>x</i> также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: δ <i>у‘</i>,<i> </i> δ <i>y"</i>,<i>…</i> Эти вариации производных можно представить так, например, δ <i>у‘</i>: δ <i>y‘ = </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> α <i>dx</i>) δα <i> + </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> β <i>dx</i>) δβ <i> + </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> γ <i>dx</i>) δγ а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс <i>x</i>,<i> </i> то можно переменить порядок действий получения производных по <i> x</i> и по параметрам; самые приращения δα,<i> </i> δβ,<i> </i> δγ от <i>x</i> не зависят, а потому: δ <i>y‘ = d</i>/<i>dx</i>[(<i>dy</i>/<i>d</i> α) δα <i> + </i>(<i>dy</i>/<i>d</i> β) δβ <i> + </i>(<i>dy</i>/<i>d</i> γ) δγ ]<i> = d</i> δ <i>y</i>/<i>dx </i>(<i>A</i>)<i>. </i> Точно так же можно показать, что: δ <i>y" = d</i><sup>2</sup> δ <i>y</i>/<i>dx</i><sup>2<i> </i></sup>,…(<i>A</i><sub>1</sub>)<i> </i> и т. д. При варьировании <i>у</i>, функция <i>F</i>(<i>x</i>, <i>y</i>, <i> у‘</i>, <i> у"</i>,<i>... </i>)<i> </i> получает приращение, равное: Δ <i>F = F</i>(<i>x</i>,<i> y + </i> δ <i>y</i>,<i> y‘ + </i> δ <i>y‘</i>,…)<i> — F</i>(<i>x</i>,<i> y</i>,<i> y‘</i>,…)<i>. </i> Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций δ <i>y</i>,<i> </i> δ <i>y‘</i>,<i> </i> δ <i>y".</i> Вариацией первого порядка функции <i>F</i> называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>y‘</i>,<i> </i> δ <i>y<sup>"</sup></i> … Эта вариация первого порядка от <i>F</i> обозначается также знаком δ, так что δ <i>F = </i>(<i>dF</i>/<i>dy</i>) δ <i>y + </i>(<i>dF</i>/<i>dy‘</i>) δ <i>y‘ + </i>(<i>dF</i>/<i>dy"</i>) δ <i>y" + </i>… Удвоенную сумму тех членов приращения <i>F</i>, которые заключают вторые степени и произведения вариаций δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>у"</i>… по две, называют вариацией второго порядка от функции <i>F</i> и обозначают ее так: δ <sup>2</sup><i>F. </i> Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (<i>S</i>), при варьировании ординаты <i>у</i> , то найдем, что оно равняется интегралу от Δ <i>F</i> и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла <i>S</i>: Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка: Составленное выражение δ <i>S</i> может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только δ <i>у</i>, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (<i>А</i>),<i> </i>(<i>А</i> <sub>1</sub>) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по <i>x </i> от δ <i>у</i>. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что δ <i>у</i> <sub>1</sub><i> = </i> 0 и δ <i>у</i> <sub>2</sub><i> = </i> 0 (так как <i>y</i><sub>1</sub> и <i>у</i> <sub>2 </sub> имеют данные постоянные значения), получим: где (<i>F</i>)<i> = dF</i>/<i>dy — d</i>/<i>dx</i>(<i>dF</i>/<i>dy‘</i>)<i> + d</i><sup>2</sup>/<i>dx</i><sup>2</sup>(<i>dF</i>/<i>dy"</i>) Для того, чтобы интеграл <i>S</i> был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы δ <i>S</i> была равна нулю, какою бы функцией от <i>x</i> ни была δ <i>у</i>; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций δ <i>у</i> возможно только тогда, когда (<i>F</i>) <i>= </i>0<i>.</i> Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция <i>у</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), делающая <i>S</i> наибольшим или наименьшим. Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению: из которого следует, что <i>у‘</i> = <i>С</i> и <i>у</i> = <i>Сх + С</i> <sub>1</sub>,<i> </i> где <i>С</i> и <i>C</i><sub>1</sub> — постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая. Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией. С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл <i>S</i> наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "M émoires de l‘Acadé mie des Sciences", vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский ("M é moire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l‘Acad. des Sciences de S-P é tersb." 1838; "Crelle‘s Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариационного исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindel ö f" (1861, четвертый том "Le ç ons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона. <i> Д. Бобылев. </i><br><br><br>... смотреть
раздел мате-.матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного... смотреть
численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. приня... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕматематическая наука, имеющая целью исследование изменений, происходящих в функции, если переменные, входящие в состав её, получ... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.<br><br><br>... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.<br>... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ , раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.... смотреть
(от лат. variatio - изменение) - раздел математики, посвящённый нахождению наибольших и наименьших значений функционале в перем. величин, зависящих от ... смотреть
- раздел математики, посвященный нахождениюнаибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбораодной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). Кчислу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрическиезадачи.... смотреть
раздел мате матики, посв. нахождению наиб. и наим. значений перем. величин, зависящих от выбора одной или неск. функций (такие величины наз. функционал... смотреть
variational calculation, calculus of variations* * *variational calculus
<math.> calculus of variations
calcolo delle variazioni
calculus of variations
calcul des variations
Variationsrechnung
calculus of variations
варіаційне обчислення.
варыяцыйнае злічэнне
вариациялық есептеу
Variationsrechnung
• variační počet
раздел математики, в к-ром применяются топологич. понятия н методы для качественного исследования вариационных задач - существование и оценка чи... смотреть